الرائدة لكرة السلة

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1شرحدرسالأعدادالمركبة

تاريخالأعدادالمركبة

ظهرتفكرةالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.كانجيرولاموكاردانوأولمنقدمهذهالفكرةفيكتابه"آرسماغنا"عام1545.

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةكلعلىحدة:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

2.الضرب

لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i

3.القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام:(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/(c²+d²)

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثيحيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:z=r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)للعددالمركب-θهيالزاوية(الوسيطة)التييصنعهامعالمحورالحقيقي

تطبيقاتالأعدادالمركبة

للأعدادالمركبةتطبيقاتعديدةفي:1.الهندسةالكهربائية2.معالجةالإشارات3.ميكانيكاالكم4.الرسوماتالحاسوبية5.نظريةالتحكم

خاتمة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتوسعمفهومناعنالأعدادوتفتحآفاقاًجديدةفيحلالمعادلاتالرياضيةوتطبيقاتهاالعملية.فهمهذهالأعداديمثلأساساًمهماًللعديدمنفروعالرياضياتالمتقدمةوالعلومالتطبيقية.

الأعدادالمركبةهيمفهومرياضيمتقدميمثلتوسيعاًلمجموعةالأعدادالحقيقية.فيهذاالدرس،سنستكشفأساسياتالأعدادالمركبة،تمثيلها،خصائصها،وعملياتهاالحسابية.

1.تعريفالعددالمركب:العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:[z=a+bi]حيث:-(a)و(b)أعدادحقيقية-(i)هيالوحدةالتخيليةالتيتحقق(i^2=-1)

2.الأجزاءالرئيسية:-الجزءالحقيقي(Realpart):(a)-الجزءالتخيلي(Imaginarypart):(b)

3.التمثيلالهندسي:يمكنتمثيلالأعدادالمركبةعلىالمستوىالمركب(مستوىأرجاند)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

4.العملياتالأساسية:أ)الجمعوالطرح:[(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i]

ب)الضرب:[(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i]

ج)القسمة:للقسمة،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام.

5.المرافقالمركب:مرافقالعدد(z=a+bi)هو:[\overline{ z}=a-bi]

6.المعيار(المقدار):معيارالعددالمركبهو:[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]

7.الصيغةالقطبية:يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبية:[z=r(cosθ+isinθ)]حيث:-(r=|z|)-(θ)هيالزاوية(الوسيطة)

8.صيغةأويلر:[e^{ iθ}=cosθ+isinθ]وهذايعطيالصيغةالأسيةللعددالمركب:[z=re^{ iθ}]

9.تطبيقاتالأعدادالمركبة:-تحليلالدوائرالكهربائية-معالجةالإشارات-ميكانيكاالكم-الرسوماتالحاسوبية

10.أمثلةتطبيقية:مثال1:احسب((3+2i)+(1-4i))الحل:((3+1)+(2-4)i=4-2i)

مثال2:أوجدمرافق(5-3i)الحل:(5+3i)

الخلاصة:الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتوسعنطاقحلالمعادلاتوتقدمتمثيلاًهندسياًمفيداً.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وإتقانالعملياتالأساسيةعليها.

مقدمة

الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart).تمثلهذهالأعدادامتدادًالمجموعةالأعدادالحقيقيةوتستخدمفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةوالفيزياءوالهندسةالكهربائية.

تعريفالعددالمركب

يمكنكتابةالعددالمركبعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي.
-bهوالجزءالتخيلي.
-iهيالوحدةالتخيليةوتُعرفبالعلاقة(i^2=-1).

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]

2.الضرب

لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]

3.القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)لتبسيطالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقي(x)يمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسي(y)يمثلالجزءالتخيلي.

الصورةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصورةالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-rهوالمقياس(Modulus)ويُحسببالعلاقة(r=\sqrt{ a^2+b^2}).
-θهيالزاوية(Argument)وتُحسببالعلاقة(\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)).

تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-تحليلالدوائرالكهربائية.
-معادلاتالحركةالموجية.
-الرسوماتالحاسوبيةوالهندسة.

خاتمة

الأعدادالمركبةتلعبدورًاأساسيًافيالرياضياتالتطبيقيةوالعلومالهندسية.فهمخصائصهاوعملياتهايساعدفيحلالعديدمنالمسائلالمعقدةبكفاءة.

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةوتساويالجذرالتربيعيللعدد-1(i²=-1)

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمع/نطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةكلعلىحدةمثال:(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

2. الضرب:نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأنi²=-1مثال:(2+3i)(1-2i)=2(1)+2(-2i)+3i(1)+3i(-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i-6(-1)=8-i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

3. القسمة:نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقاممثال:(3+4i)/(1-2i)نضربفي(1+2i)/(1+2i)

   شرحدرسالأعدادالمركبة

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)ويحسببالعلاقةr=√(a²+b²)-θهيالزاوية(الوسع)وتحسببالعلاقةθ=arctan(b/a)

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
2. فيمعالجةالإشاراتوالتحليلالطيفي
3. فيميكانيكاالكموفيزياءالجسيمات
4. فيالرسوماتالحاسوبيةوالتحريك

الخاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومنظامالأعدادالحقيقيةوتقدمأداةرياضيةقويةلحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمالأعدادالمركبةأساسيفيالعديدمنالتخصصاتالعلميةوالهندسيةالمتقدمة.

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يمكنالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةالتيتساويالجذرالتربيعيللعدد-1(i²=-1)

خصائصالأعدادالمركبة

1. الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمع/نطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةكلعلىحدة.مثال:(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2-4)i=4-2i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

2. الضرب:نضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعمعتذكرأنi²=-1.مثال:(2+3i)(1-2i)=2(1)+2(-2i)+3i(1)+3i(-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i-6(-1)=8-i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

3. القسمة:لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام.مثال:(3+4i)/(1-2i)=[(3+4i)(1+2i)]/[(1-2i)(1+2i)]=(-5+10i)/5=-1+2i

   شرحدرسالأعدادالمركبة

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالمركب(مستوىأرجاند)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي

الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة

يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبيةr(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)ويحسببالعلاقةr=√(a²+b²)-θهيالزاوية(الوسع)وتحسببالعلاقةθ=arctan(b/a)

تطبيقاتالأعدادالمركبة

1. فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
2. فيمعالجةالإشاراتوالتحليلالطيفي
3. فيميكانيكاالكموفيزياءالموجات
4. فيحلالمعادلاتالتفاضلية

الخاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومنظامالأعدادالحقيقيةوتوفرأداةقويةلحلالعديدمنالمسائلالرياضيةوالعلميةالتيلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمخصائصهاوعملياتهاالأساسيةيعدأساسياًللعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسيةالمتقدمة.